解 x² − 5x + 6 并求判别式

已知一元二次方程 x² − 5x + 6 = 0 有两个根，求它的判别式以及两个根。

分步解答

1. a = 1，b = -5，c = 6
   先把三项系数读出来，注意常数项的符号
2. Δ = b² − 4ac = -5² − 4 × 1 × 6 = 1
   判别式决定实根个数：大于零两个不等实根，等于零两个相等实根，小于零没有实根
3. √Δ = √1 = 1
   把判别式开方，求根公式里用到的是它的算术平方根
4. x = (−b ± √Δ)/(2a) ⇒ x₁ = 3，x₂ = 2
   求根公式，正负两个值对应两个根
5. x₁ + x₂ = −b/a = 5，x₁·x₂ = c/a = 6
   韦达定理，可以用来验算求根结果是否算对

为什么这样做

一元二次方程求根的核心是判别式：它先告诉你"有没有根、有几个根"，再决定要不要代求根公式。判别式为正说明图象与横轴有两个交点，此时求根公式里的正负号才各对应一个实根。算完之后用两根之和与两根之积回代，可以立刻发现符号错。

常见错误

• 把判别式写成 b² + 4ac，符号错一个，整题全错。
• 求根公式里分母写成 a 而不是 2a。
• 算出判别式为正就以为只有一根，漏掉另一个根。

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