竖直圆轨道 R = 0.9 米：恰好通过最高点

小球在内壁光滑的竖直圆轨道上运动，轨道半径 R = 0.9 米（g 取 10 米/秒²）。小球恰好能通过最高点，求它在最高点的速度和在最低点的速度。

分步解答

1. mg = mv顶²/r → v顶 = √(gr) = √(10×0.9) = 3
   恰好通过最高点：重力刚好提供全部向心力（绳/轨道弹力为 0）
2. ½mv底² = ½mv顶² + mg·2r → v底 = √(5gr) = 6.7082
   最低点到最高点高度差为 2r，机械能守恒

为什么这样做

恰好通过的条件是最高点处轨道弹力为零，只有重力提供向心力，即 mg = mv²/R；半径越大，所需的向心力越大，过顶速度也越大。

常见错误

• 把最高点速度写成 gR，忘了要开平方得到 √(gR)。
• 以为过最高点的速度与轨道半径无关。

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