竖直圆轨道 R = 0.4 米：恰好通过最高点

小球在内壁光滑的竖直圆轨道上运动，轨道半径 R = 0.4 米（g 取 10 米/秒²）。小球恰好能通过最高点，求它在最高点的速度和在最低点的速度。

分步解答

1. mg = mv顶²/r → v顶 = √(gr) = √(10×0.4) = 2
   恰好通过最高点：重力刚好提供全部向心力（绳/轨道弹力为 0）
2. ½mv底² = ½mv顶² + mg·2r → v底 = √(5gr) = 4.4721
   最低点到最高点高度差为 2r，机械能守恒

为什么这样做

恰好通过最高点时重力刚好提供全部向心力、轨道对球的弹力为零，故最高点速度 v = √(gR)；最低点比最高点低 2R，由机械能守恒可得到最低点的速度。

常见错误

• 以为过最高点时速度可以接近零（其实至少要 √(gR)）。
• 把最低点到最高点的高度差当成 R，而不是 2R。

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