هل المتجهان (3,4) و(4,-3) متعامدان؟

معطى أن إحداثيات المتجه المستوي a هي (3, 4)، وإحداثيات المتجه b هي (4, -3). احسب الضرب القياسي لهما، وحدد ما إذا كانا متعامدين.

الحل خطوة بخطوة

1. a = (3، 4)، b = (4، -3)
   أولاً، اكتب المتجهين بصيغة الإحداثيات، وحدد المكونات المقابلة بوضوح
2. a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = 3 × 4 + 4 × -3 = 0
   الضرب القياسي بصيغة الإحداثيات يساوي مجموع حاصل ضرب المكونات المقابلة، والنتيجة عدد وليست متجهاً
3. |a| = √(3² + 4²) = 5، |b| = 5
   طول المتجه هو الجذر التربيعي الحسابي لمجموع مربعات مكوناته
4. cosθ = a·b/(|a||b|) = 0 ⇒ θ = 90°
   جيب تمام الزاوية المحصورة يساوي الضرب القياسي مقسوماً على حاصل ضرب المعيارين
5. a·b = 0 ⇒ المتجهان متعامدان
   الضرب القياسي يساوي صفرًا هو شرط ضروري وكافٍ للتعامد، ويمكن استخدامه للتحقق السريع

لماذا يعمل هذا الحل

إن تساوي الضرب القياسي للصفر يعادل تعامد المتجهين، وهي شرط لازم وكافٍ، لذا لا داعي لحساب الزاوية لتحديد التعامد. في هذه المسألة، تتبادل مركبتا المتجهين بالضبط مع اختلاف إشارة واحدة، وهو سمة مميزة للدوران بمقدار 90 درجة، ويؤكد الضرب القياسي الذي يساوي صفرًا ذلك. باستثناء متجه الصفر، فإن ضربه القياسي مع أي متجه آخر يساوي صفرًا دائمًا لكنه لا يملك اتجاهًا.

الأخطاء الشائعة

• حساب الزاوية بمقدار 90 درجة باستخدام صيغة الزاوية ثم الاعتقاد بضرورة كتابة دالة جيب التمام العكسية، مما يزيد الخطوة ويؤدي بسهولة إلى الخطأ.
• القول إن الضرب القياسي يساوي صفرًا يعني "عدم وجود المتجهين"، وهو تشويه للنتيجة.
• خطأ في معالجة الإشارات عند ضرب المركبات، حيث تم حذف إشارة سالبة واحدة، مما أدى إلى حساب الضرب القياسي بمقدار 24.

مسائل ذات صلة

n-math-vector-dot-1