الضرب القياسي للمتجهات (2,-1) و(5,3)

معطى المتجه المستوي a إحداثياته (2, -1)، والمتجه b إحداثياته (5, 3)، أوجد ضربهما القياسي والزاوية بينهما.

الحل خطوة بخطوة

1. a = (2، -1)، b = (5، 3)
   أولاً، اكتب المتجهين بصيغة الإحداثيات، وحدد المكونات المقابلة بوضوح
2. a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = 2 × 5 + -1 × 3 = 7
   الضرب القياسي بصيغة الإحداثيات يساوي مجموع حاصل ضرب المكونات المقابلة، والنتيجة عدد وليست متجهاً
3. |a| = √(2² + -1²) = 2.236068، |b| = 5.830952
   طول المتجه هو الجذر التربيعي الحسابي لمجموع مربعات مكوناته
4. cosθ = a·b/(|a||b|) = 0.53687548 ⇒ θ = 57.528809°
   جيب تمام الزاوية المحصورة يساوي الضرب القياسي مقسوماً على حاصل ضرب المعيارين
5. a·b = 7 ≠ 0 ⇒ المتجهان غير متعامدين
   الضرب القياسي يساوي صفرًا هو شرط ضروري وكافٍ للتعامد، ويمكن استخدامه للتحقق السريع

لماذا يعمل هذا الحل

الضرب القياسي يحول متجهين إلى عدد أحادي البعد، ومعناه الهندسي هو معيار أحد المتجهات مضروبًا في إسقاط الآخر على اتجاهه. بالصيغة الإحداثية يكون مجموع حاصل ضرب المركبات المقابلة، والنتيجة عدد وليست متجهًا. لإيجاد الزاوية نستخدم قوس جيب التمام العكسي بعد قسمة الضرب القياسي على حاصل ضرب المعيارين، والمقام هو حاصل ضرب المعيارين وليس جمعهما.

الأخطاء الشائعة

• كتابة الضرب القياسي كمجموع مربعات الفروق بين المركبات المقابلة، وهذا خطأ لأن ذلك خوارزمية المسافة.
• وضع مجموع المعيارين مقامًا في صيغة الزاوية بدل حاصل ضربهما.
• أخذ قوس جيب التمام العكسي مباشرة لقيمة جيب تمام خارجة عن النطاق من سالب واحد إلى واحد، مما يدل على خطأ في الحسابات السابقة.

مسائل ذات صلة

n-math-vector-perpendicular