حل المعادلة x² + 2x − 8 وإيجاد المميز

معطى أن للمعادلة التربيعية x² + 2x − 8 = 0 جذرين، أوجد مميزها والجذرين.

الحل خطوة بخطوة

1. a = 1، b = 2، c = -8
   أولاً، نقرأ المعاملات الثلاثة مع الانتباه إلى إشارة الحد الثابت.
2. Δ = b² − 4ac = 2² − 4 × 1 × -8 = 36
   يحدد المميز عدد الجذور الحقيقية: أكبر من صفر يعطي جذرين حقيقيين مختلفين، يساوي صفرًا يعطي جذرين حقيقيين متساويين، أقل من صفر لا يعطي جذورًا حقيقية.
3. √Δ = √36 = 6
   نأخذ الجذر التربيعي للمميز، والصيغة المستخدمة في قانون الجذور هي جذره الحسابي غير السالب.
4. x = (−b ± √Δ)/(2a) ⇒ x₁ = 2، x₂ = -4
   قانون الجذور يعطي قيمتين من إشارة الزائد والناقص، وتوافق كل منهما جذرًا.
5. x₁ + x₂ = −b/a = -2، x₁·x₂ = c/a = -8
   يمكن استخدام صيغ فييتا للتحقق من صحة نتائج إيجاد الجذور.

لماذا يعمل هذا الحل

الحد الثابت في هذه المسألة سالب، لذا يصبح −4ac إضافة عدد موجب، مما يجعل المميز موجباً بالضرورة. يحدد المميز فقط عدد الجذور وطبيعتها ولا يحدد مقدارها؛ حيث يُعطى مقدار الجذور بواسطة صيغة حل المعادلة التربيعية. عندما يكون الحد الثابت سالباً تكون الجذران بإشارتين متعاكستين (واحد موجب والآخر سالب)، ويمكن استخدام هذه الخاصية للتحقق الذاتي من معقولية النتائج.

الأخطاء الشائعة

• الخلط بين إشارة السالب في −4ac وإشارة الحد الثابت السالب، مما يؤدي إلى حسابها كطرح.
• كتابة الجذر التربيعي للعدد 36 على أنه 36 عند أخذ الجذر التربيعي.
• حساب كلا الجذرين موجبين دون التحقق من أن كون الحد الثابت سالباً يعني أن الجذرين لهما إشارتان متعاكستان.

مسائل ذات صلة

n-math-quadratic-roots-1 n-math-quadratic-discriminant-param n-math-quadratic-none