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x=2 处的切线斜率与方程
已知函数 f(x) = x² − 2x + 3，求曲线在 x = 2 处的切线斜率，并写出该点的切线方程。
直接答案
斜率 k = 2，切线 y = 2x − 1
分步解答
- f(x) = 1x² − 2x + 3先看清函数的二次项系数、一次项系数与常数项，注意符号
- f′(x) = 2x − 2幂函数求导：x² 的导数是 2x，x 的导数是 1，常数的导数是 0
- k = f′(2) = 2 × 2 − 2 = 2导数值就是该点切线的斜率，这就是导数的几何意义
- y₀ = f(2) = 3把切点横坐标代回原函数，得到切点纵坐标
- y − (3) = 2(x − 2) ⇒ y = 2x − 1点斜式写切线方程：斜率由导数给出，点由切点给出
为什么这样做
切线方程需要两样东西：斜率与切点，缺一不可。斜率由导函数在切点横坐标处的值给出，切点纵坐标要把横坐标代回原函数而不是代回导函数。得到这两样之后用点斜式写出，再整理成斜截式。把切点代回原函数这一步是本题最容易漏的地方。
常见错误
- 把切点纵坐标用导函数算，代错了函数。
- 点斜式里横坐标的减号写成加号。
- 只写了斜率就当作切线方程，漏掉截距。