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f(x)=x²−6x+5 在 x=4 的斜率
已知函数 f(x) = x² − 6x + 5，求它在 x = 4 处的导数以及该点切线的斜率。
直接答案
斜率 k = 2，切线 y = 2x − 11
分步解答
- f(x) = 1x² − 6x + 5先看清函数的二次项系数、一次项系数与常数项，注意符号
- f′(x) = 2x − 6幂函数求导：x² 的导数是 2x，x 的导数是 1，常数的导数是 0
- k = f′(4) = 2 × 4 − 6 = 2导数值就是该点切线的斜率，这就是导数的几何意义
- y₀ = f(4) = -3把切点横坐标代回原函数，得到切点纵坐标
- y − (-3) = 2(x − 4) ⇒ y = 2x − 11点斜式写切线方程：斜率由导数给出，点由切点给出
为什么这样做
导数的几何意义就是切线斜率，所以求切线斜率只需要求导再代入横坐标，不必先写切线方程。多项式求导逐项进行：二次项降一次并乘系数，一次项变成常数，常数项消失。代入时注意把负系数与负横坐标的符号都带进去。
常见错误
- 求导时忘记给二次项乘原来的系数。
- 把常数项也当成求导后还剩的东西。
- 代入时把一个负号漏掉，斜率符号错。