竖直圆轨道 R = 2.5 米：恰好通过最高点

小球在内壁光滑的竖直圆轨道上运动，轨道半径 R = 2.5 米（g 取 10 米/秒²）。小球恰好能通过最高点，求它在最高点的速度和在最低点的速度。

分步解答

1. mg = mv顶²/r → v顶 = √(gr) = √(10×2.5) = 5
   恰好通过最高点：重力刚好提供全部向心力（绳/轨道弹力为 0）
2. ½mv底² = ½mv顶² + mg·2r → v底 = √(5gr) = 11.1803
   最低点到最高点高度差为 2r，机械能守恒

为什么这样做

恰好通过时最高点轨道弹力为零，只有重力提供向心力，mg = mv顶²/R，所以 v顶 = √(gR)。最低点与最高点高度差为 2R，由机械能守恒得 v底² = v顶² + 4gR。

常见错误

• 忘开平方，把最高点速度写成 25 米/秒，正确结果是 5 米/秒。
• 以为最高点的速度与轨道半径无关。

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