向量 (2,−1) 与 (5,3) 的数量积

已知平面向量 a 的坐标是 (2, -1)，向量 b 的坐标是 (5, 3)，求它们的数量积以及夹角。

分步解答

1. a = (2, -1)，b = (5, 3)
   先把两个向量写成坐标形式，看清对应分量
2. a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = 2 × 5 + -1 × 3 = 7
   坐标形式的数量积等于对应分量乘积之和，结果是数不是向量
3. |a| = √(2² + -1²) = 2.236068，|b| = 5.830952
   向量长度是分量平方和的算术平方根
4. cosθ = a·b/(|a||b|) = 0.53687548 ⇒ θ = 57.528809°
   夹角的余弦等于数量积除以两个模的乘积
5. a·b = 7 ≠ 0 ⇒ 两向量不垂直
   数量积为零是垂直的充要条件，可用来快速判断

为什么这样做

数量积把两个向量变成一维的数，几何意义是一个向量的模乘以另一个在它方向上的投影长度。坐标形式下就是对应分量乘积之和，结果是数不是向量。夹角要用数量积除以两个模的乘积再反余弦，分母是两个模相乘而不是相加。

常见错误

• 把数量积写成对应分量之差的平方和，那是距离的算法。
• 夹角公式里分母写成两个模相加。
• 算出的余弦值超出正负一的范围却直接反余弦，说明前面算错了。

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