CalcElfCalcElf › 三边 7、8、9 求 7 所对的角
三边 7、8、9 求 7 所对的角
三角形的三边长分别是 7、8、9，求边 7 所对的角的大小。
直接答案
A = 48.189685°，面积 S = 26.832816
分步解答
- 已知三边 a = 7，b = 8，c = 9三边已知，用余弦定理的推论求角
- cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = 0.66666667余弦定理的推论，由三边求角
- A = arccos(0.66666667) = 48.189685°三角形内角在 0 到 180 度之间，反余弦取主值即可
- S = ½·b·c·sinA = 26.832816求出角之后再套两边夹角公式求面积
- 校验：A + B + C = 180°三角形内角和必须是一百八十度，可用来自检角度是否算错
为什么这样做
三边已知求角要用余弦定理的推论，因为余弦在零到一百八十度之间是单调的，由余弦值能唯一确定角，不会出现两解。这一点比正弦定理稳：正弦定理在钝角情形会出现两个候选角，需要额外判断。算出角后用内角和与面积各回代一次，可同时验证两步。
常见错误
- 用正弦定理求角却不判断钝角情形，取错了那个角。
- 余弦定理推论里分子三项的符号搞错，把减号写成加号。
- 反余弦时把结果当成弧度，直接写成数值而漏掉度的单位。