ميل المماس ومعادلته عند x=2

معطى الدالة f(x) = x² − 2x + 3، أوجد ميل المماس للمنحنى عند x = 2، واكتب معادلة المماس عند تلك النقطة.

الحل خطوة بخطوة

1. f(x) = 1x² − 2x + 3
   حدد أولاً معاملات الحد التربيعي والحد الخطي والحد الثابت للدالة، مع الانتباه إلى الإشارات
2. f′(x) = 2x − 2
   قاعدة القوى للاشتقاق: مشتقة x² هي 2x، ومشتقة x هي 1، ومشتقة الثابت هي 0
3. k = f′(2) = 2 × 2 − 2 = 2
   قيمة المشتقة عند نقطة تساوي ميل المماس عند تلك النقطة، وهذا هو المعنى الهندسي للمشتقة
4. y₀ = f(2) = 3
   عوض إحداثي x لنقطة التماس في الدالة الأصلية للحصول على إحداثي y لها
5. y − (3) = 2(x − 2) ⇒ y = 2x − 1
   اكتب معادلة المماس بصيغة الميل والنقطة: يُعطى الميل من المشتقة، والنقطة هي نقطة التماس.

لماذا يعمل هذا الحل

معادلة المماس تحتاج إلى شيئين: الميل ونقطة التماس، ولا غنى عن أي منهما. يُعطى الميل من قيمة الدالة المشتقة عند الإحداثي السيني لنقطة التماس، أما الإحداثي الصادي لنقطة التماس فيجب تعويض الإحداثي السيني فيه بالدالة الأصلية وليس بالمشتقة. بعد الحصول على هذين العنصرين، تُكتب المعادلة بصيغة الميل والنقطة، ثم تُرتب إلى صيغة الميل والقطع. خطوة تعويض نقطة التماس في الدالة الأصلية هي الأكثر سهوًا فيها في هذه المسألة.

الأخطاء الشائعة

• 1) حساب الإحداثي الصادي لنقطة التماس باستخدام الدالة المشتقة، أي تعويض في الدالة الخطأ.
• 2) كتابة علامة الزائد بدلًا من علامة الطرح للإحداثي السيني في صيغة الميل والنقطة.
• 3) كتابة الميل فقط واعتباره معادلة المماس، مع نسيان القطع (المقطع).

مسائل ذات صلة

n-math-derivative-slope