椭圆 a=13 b=5 求 c 与 e

已知椭圆焦点在 x 轴上，半长轴是 13，半短轴是 5，求它的半焦距与离心率。

分步解答

1. 椭圆：a = 13，b = 5
   椭圆的半长轴与半短轴决定它的大小与扁平程度
2. c² = a² − b² = 13² − 5² = 144
   椭圆中 a 最大，所以是 a 平方减 b 平方
3. c = √144 = 12
   开方取正值，半焦距是焦点到中心的距离
4. e = c / a = 12 / 13 = 0.923077
   离心率刻画扁平程度，椭圆的离心率在 0 与 1 之间
5. 回代校验：a² = b² + c² ⇒ 169 = 25 + 144
   用 a、b、c 三者的关系回代，确认半焦距没有算错

为什么这样做

椭圆里半长轴最大，所以三者关系是半长轴的平方等于半短轴的平方加半焦距的平方，移项就得到半焦距。半焦距是焦点到中心的距离，离心率是它与半长轴的比，两个量一个刻画大小、一个刻画扁平程度。算完之后回代验证三者关系是否闭合。

常见错误

• 把关系式写成半焦距的平方等于半长轴的平方减半短轴的平方后又移错项。
• 把离心率算成半长轴除以半焦距，取了倒数。
• 开方时忘记取正值，写出负的半焦距。

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